\(xy\) 平面上の原点\(O,\,A(x_1,y_1),\,B(x_2,y_2)(x_1,y_1,y_2\ge 0\) かつ \( x_2<0\))の三点でできる三角形の面積を \(S\) とおく。
この三角形の面積を複数の方法で求めていきます。三角形の基本の面積公式は \(S=\frac{1}{2}ah\) です。\(a\)を底辺の長さ、\(h\) を高さとしました。
中学生から高校生まで幅広いレベルを取り入れるようにしました。
\(xy\) 平面上の三角形について考えましょう。平行移動や回転を行うことで上の条件を満たす三角形の面積を求められます。
２つの三角形に分割して考える
まず \(y\) 軸で二つの三角形に分割します。すると面積公式 \(S=\frac{1}{2}ah\) を使うことができます。
2点 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) を通る直線は
\[y=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)+y_1\]
です。
そのため、2点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)を通る直線と\(y\)軸が交わる点（\(y\)切片）は \((0,-\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}x_1+y_1)\) となります。
この点を \(M=(0,-\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}x_1+y_1)\) とし、三角形\(AOM\)と三角形\(BOM\)の面積をそれぞれ \(|\triangle AOM|\) と \(|\triangle BOM|\) とおきます。このとき
\[|\triangle AOM|=\frac{1}{2}|(-\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}x_1+y_1)\cdot x_1|\]
\[|\triangle BOM|=\frac{1}{2}|(-\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}x_1+y_1)\cdot x_2|\]
よって、\(S=|\triangle AOM|+|\triangle BOM|\)
この式から三角形全体の面積が求まる。
点と直線の距離から求める
点と直線の距離の公式
\[d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}・・・①\]
を用いて点\(A,B\)を通る直線と原点との距離を求めます。
2点\(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\)を通る直線は
\[y=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_1)+y_1\]
すなわち、
\[\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}x-y-\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}x_1+y_1=0\]
また、原点と点\(A,B\)を通る直線の距離を考えます。①において
\[a=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2},\, b=-1,\, c=-\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}x_1+y_1, \, x_0=0,\, y_0=0\]
を代入します。
また、三平方の定理から\(A(x_1,y_1)とB(x_2,y_2)\)の二点間の距離が \(\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}\) と求まります。
これらを三角形の面積公式 \(S=\frac{1}{2}ah\) に代入します。
ベクトルを用いて求める
位置ベクトル \(\vec{a}=(x_1,y_1),\vec{b}=(x_2,y_2)\) において
\[S=\frac{1}{2}|x_1y_2-x_2y_1|\]
が成り立つ。
この式にそのまま座標を代入すると求まります。
ベクトルの外積の知識があると、この方法がすんなりと思いつきます。
証明はしていませんが、この方法が一番手っ取り早いですね。
