自然数とは
一般的に自然数とは、\(1, 2, 3,…\) と無限に続いていく数の集まりのことを言います。（ただし、一般的な書籍だと \(0\) を含めることもある）
自然数は小学生の頃から慣れ親しんだ数たちです。物を数えるとき、順番を決めるときに使ってきたと思います。掃除の班分けなどにも使われます。
自然数でできること
自然数があると何ができるようになるでしょうか。自然数では足し算、引き算、掛け算、割り算といった四則演算を行うことが可能です。
例えば、\(3+8=11\)、\(10-4=6\)、\(13\times8=104\)、\(85\div17=5\) と計算できます。
この例では自然数同士で計算することで新しい自然数が出てきました。
しかし、いつも答えに自然数が出てくるのでしょうか。
例えば、\(1-2\) や \(20-32\)はどうでしょうか？
中学生ならすぐに \(-1\) や \(-12\) と答えられるかもしれませんが、答えを自然数だけでは表すことができないですよね。
こんな時に登場するのが整数です。
自然数を拡張すると整数ができる
自然数ができることとして四則演算が挙げられましたが、\(1-2\) や \(20-32\)は答えが自然数になりません。その答えを求めるために、整数というものを用意しましょう。
整数とは、\(…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…\) といった数の集まりのことを言います。
これらはどんな数かというと、自然数に\(-1\)を掛け算してできた数の集まりと、\(0\)、自然数をすべて集めた数たちになります。
つまり、整数を作り出すためには自然数を使わなければいけません。
※ \(1,2,3,…\) (自然数)に\(-1\)をかける → \(…,-3,-2,-1\) (負の整数）
\(…,-3,-2,-1\) は負の整数と言います。また、自然数は正の整数とも言います。
自然数と\(0\)を含めたい場合は非負整数と呼ぶこともあります。
整数を数直線で表すと下の図のようになります。
ちなみに、\(0,1,2,3,…\)のように自然数に\(0\)を含めたいときは、\(0\)以上の整数と言うことが多いです。
\(1-2\)を計算したいときは、数直線を使って考えると、\(1\)から\(2\)だけマイナスの方向に進めばわかります。よって \(1-2=-1\)となります。
※引き算の “\(-\)” と負の符号 “\(-\)” は見た目は同じですが、意味合いは違うので注意しましょう。
整数の四則演算
整数同士の四則演算はどうなるのでしょうか。
整数同士であれば、例えば\(-4+2=-2\)、\(-3-(-5)=2\)、\(3\times(-16)=-48\) というように足し算、引き算、掛け算は計算できますし、どれも整数になります。
ちなみに、この記事を読んでいる方は\((-1)\times(-1)=1\)が成り立つ理由を説明できるでしょうか？
もちろん、これが成り立たないと都合が悪いのですが、以下でこの等式が成り立つことを示します。（分配法則、移項を用います。）
\[\begin{align}0=0 \\ 1-1=0 \\ (-1)\times\{1-1\}=0 \\ (-1)\times{1}+(-1)\times(-1)=0\\-1+(-1)\times(-1)=0 \\ (-1)\times(-1)=1\end{align}\]
割り算ではどうでしょうか。例えば \(11\div13=\frac{11}{13}=0.84615…\) は整数では表すことができません。
このような整数と分数を含む数の集まりが有理数といわれます。
有理数については詳しく説明しませんが、有理数の他にもいろいろな数が存在します。気になった方はぜひ調べてみてください。
高校・大学生向け：自然数、整数の集合全体の表記
一般的な書籍では、自然数全体の集合は\(\mathbb{N}\)で表され、整数全体の集合は\(\mathbb{Z}\)で表されます。
自然数全体の集合を\(\mathbb{N}\)で表すことについては、自然数を英語で”Natural numbers”と書くことから納得がいきます。
高校までは知らなくてもいいですが、大学では当たり前のように使われます。
また、\(0\)を含めない自然数を\(\mathbb{Z}_+\)と書いたりもします。
この記号を知っていれば、答案を書く際に記述量を減らせて便利なので、高校でも使えそうであれば使ってみるといいと思います。
また、問題に回答する際には、\(n\)を自然数、\(k\)を整数として解き進めることが一般的になっています。
まとめ
整数は\(0\)と自然数、そして自然数に\(-1\)を掛け算した数からできており、数直線を使って計算ができることがわかりました。
